cho x,y là 2 số dương. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= \(\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{x^2}}\)
Cho x, ,y là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{xy}{x^2+y^2}+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
Cho x,y,z là các số thực dương, thỏa mãn \(x+y+z\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}=\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\left[\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\right]+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
\(\ge\sqrt{2\sqrt{\left(x+y+z\right)^2\cdot\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}}+\frac{80}{1}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng bất đẳng thức Minkowski ta có:
√x2+1x2 +√y2+1y2 +√z2+1z2 ≥√(x+y+z)2+(1x +1y +1z )2
≥√(x+y+z)2+(9x+y+z )2=√(x+y+z)2+81(x+y+z)2
=√[(x+y+z)2+1(x+y+z)2 ]+80(x+y+z)2
≥√2√(x+y+z)2·1(x+y+z)2 +801 =√82
Dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=13
Cho x, y, z là 3 số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}\)
Ta có : 2P = \(\frac{\sqrt{4x^2-4xy+4y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{4y^2-4yz+4z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{4z^2-4zx+4x^2}}{z+x+2y}\)
\(=\frac{\sqrt{\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{\left(2y-z\right)^2+\left(\sqrt{3}z\right)^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{\left(2z-x\right)^2+\left(\sqrt{3}x\right)^2}}{z+x+2y}\)
Lại có \(\frac{\sqrt{\left[\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2\right]\left[\left(1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\right)\right]}}{x+y+2z}\ge\frac{\left[\left(2x-y\right).1+3y\right]}{x+y+2z}=\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+2z}\)
=> \(\sqrt{\frac{\left(2x-y\right)^2+\left(\sqrt{3}y\right)^2}{x+y+2z}}\ge\frac{x+y}{x+y+2z}\)(BĐT Bunyakovsky)
Tương tự ta đươc \(2P\ge\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{2x+y+z}+\frac{z+x}{2y+z+x}\)
Đặt x + y = a ; y + z = b ; x + z = c
Khi đó \(2P\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)
\(\ge\left(a+b+c\right).\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
=> \(P\ge\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z
bài 8 : bỏ dấu hoặc rồi tính
a;( 17 - 299) + ( 17 - 25 + 299)
bằng 20 ấn mtinh ra thế
Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{x+2y}{\sqrt{1-x}}\)+\(\frac{y+2x}{\sqrt{1-y}}\)
vì x+y=1\(\Rightarrow\sqrt{1-x}=\sqrt{x+y-x}=\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow\frac{x+2y}{\sqrt{1-x}}=\frac{x+y+y}{\sqrt{y}}=\frac{y+1}{\sqrt{y}}=\frac{y+\frac{1}{2}}{\sqrt{y}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\)
ad cau-chy có \(y+\frac{1}{2}\ge2\sqrt{\frac{y}{2}}=\sqrt{2y}\)\(\Rightarrow\frac{x+2y}{\sqrt{1-x}}\ge\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\)
Tương tự .....\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)\)
cm \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{2\left(x+y\right)}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{2}+\frac{1}{2}.2\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
Dấu = xra khi x=y=1/2
k cho mk nha mn ^.^
Cho x,y,z là ba số thực dương .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}\)
ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
tương tự ta có các trường hợp còn lại và ta có
\(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)\)
đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)
=> \(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+ca}\)
Áp dụng bđt svác sơ ta có
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
mạt khác Áp dụng bđt cô si ta có
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ac\end{cases}}\)
=> \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
=> \(A\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
=> \(S\ge\frac{3}{4}\)
dấu = xảy ra <=> x=y=z>o
ta có \(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}xy+\frac{1}{4y^2}+\frac{3}{4}x^2-\frac{3}{2}xy+\frac{3}{4}y^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{3}{4}\left(x^2-2xy+y^2\right)}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\)
Ta có
\(\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\frac{1}{2}\cdot\left(y+x\right)\)
Tương tự ta có các TH còn lại
Ta có
\(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)\)
Đặt x + y = a ; y + z = b ; z + x = c
\(S\ge\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)
Đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}\)
Áp dụng BĐT Svac sơ ta có
\(A\ge\left(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\right)\)
Mặt khác ADBĐT Cosy ta có
\(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a\ge^22ac\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{3}{2}\Rightarrow S\ge\frac{3}{4}\)
Dấu =xảy ra khi x=y=z>o
\(\downarrow\)
Bài 1:
Cho số thực x. Với \(x\ge1\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+5.\sqrt{x+3-4.\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6.\sqrt{x-1}}\)
Bài 2:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(y=\frac{x^2}{x^2-5x+7}\)
Bài 3:
Cho hai số dương x,y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện \(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của x+y
Bài 3:
Có:\(6=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
True?
Bài 2: Thực sự không chắc lắm về cách này
\(y=\frac{x^2}{x^2-5x+7}\Rightarrow x^2\left(y-1\right)-5yx+7y=0\)
Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x, dùng điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 ta có \(\Delta=25y^2-28y\left(y-1\right)=28y-3y^2\ge0\Leftrightarrow28y\ge3y^2\)
Xét y âm, chia 2 vế của bất đẳng thức cho y âm ta được \(y\ge\frac{28}{3}\)không thỏa
Xét y dương ta thu được \(y\le\frac{28}{3}\), cái này thì em không không biết có nghiệm x không nhờ mọi người kiểm tra dùm
Vậy Maxy=28/3 còn Miny=0 (cái min thì dễ hà )
Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn \(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+\sqrt{x}}=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\frac{1}{3\sqrt{x}+3\sqrt{y}+2\sqrt{z}}+\frac{1}{3\sqrt{x}+2\sqrt{y}+3\sqrt{z}}+\frac{1}{2\sqrt{x}+3\sqrt{y}+3\sqrt{z}}\)
Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Vì xyz=1\(\Rightarrow x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x\sqrt{x}\)
Tương tự \(y^2\left(z+x\right)\ge2y\sqrt{y};z^2=\left(x+y\right)\ge2z\sqrt{z}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}=a;y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}=b;z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}=c\)
\(\Rightarrow x\sqrt{x}=\frac{4c+a-2b}{9};y\sqrt{y}=\frac{4a+b-2c}{9};z\sqrt{z}=\frac{4b+c-2a}{9}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{9}\left(\frac{4c+a-2b}{b}+\frac{4a+b-2c}{a}+\frac{4b+c-2a}{b}\right)\)
\(=\frac{2}{9}\text{ }\left[4\left(\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-6\right]\ge\frac{2}{9}\left(4.3+2-6\right)=2\)
Min P =2 khi và chỉ khi a=b=c khi va chỉ khi x=y=z=1
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y<=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\left(\frac{1}{X} +\frac{1}{Y}\right).\sqrt{1+X^2Y^2}\)
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\sqrt{1+x^2y^2}\)
\(\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\)
\(\ge2\sqrt{2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=2\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{15}{4}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra tai x=y=1/2